Cho các số thực \(x>1,y>1\). Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức \(P=\frac{x}{\sqrt{y}-1}+\frac{y}{\sqrt{x}-1}\)
Những câu hỏi liên quan
Bài 1 : Cho hai số x,y thỏa mãn đẳng thức :left(x+sqrt{x^2+2011}right)timesleft(y+sqrt{y^2+2011}right)2011TÌm x+y .Bài 2 : Cho x0,y0 và x+yge6. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức :P3x+2y+frac{6}{x}+frac{8}{y}Bài 3 : Cho các số thực x,a,b,c thay đổi , thỏa mạn hệ :hept{begin{cases}x+a++b+c7x^2+a^2+b^2+c^213end{cases}}TÌm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của x .Bài 4 : Cho các số dương a,b,c . Chứng minh :1 frac{a}{a+b}+frac{b}{b+c}+frac{c}{c+a} 2Bài 5: Cho x,y l...
Đọc tiếp
Bài 1 : Cho hai số x,y thỏa mãn đẳng thức :
\(\left(x+\sqrt{x^2+2011}\right)\times\left(y+\sqrt{y^2+2011}\right)=2011\)TÌm x+y .
Bài 2 : Cho x>0,y>0 và \(x+y\ge6\). Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức :
\(P=3x+2y+\frac{6}{x}+\frac{8}{y}\)
Bài 3 : Cho các số thực x,a,b,c thay đổi , thỏa mạn hệ :
\(\hept{\begin{cases}x+a++b+c=7\\x^2+a^2+b^2+c^2=13\end{cases}}\)TÌm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của x .
Bài 4 : Cho các số dương a,b,c . Chứng minh :
\(1< \frac{a}{a+b}+\frac{b}{b+c}+\frac{c}{c+a}< 2\)
Bài 5: Cho x,y là hai số thực thỏa mãn :(x+y)2+7.(x+y)+y2+10=0 . Tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của biểu thức A=x+y+1
Bài 6: Tìm giá trị nhỏ nhất biểu thức : \(P=\frac{x^4+2x^2+2}{x^2+1}\)
Bài 7 : CHo các số dương a,b,c . Chứng minh bất đẳng thức :
\(\frac{a+b}{c}+\frac{b+c}{a}+\frac{c+a}{b}\ge4\times\left(\frac{a}{b+c}+\frac{b}{c+a}+\frac{c}{a+b}\right)\)
neu de bai bai 1 la tinh x+y thi mik lam cho
đăng từng này thì ai làm cho
We have \(P=\frac{x^4+2x^2+2}{x^2+1}\)
\(\Rightarrow P=\frac{x^4+2x^2+1+1}{x^2+1}\)
\(=\frac{\left(x^2+1\right)^2+1}{x^2+1}\)
\(=\left(x^2+1\right)+\frac{1}{x^2+1}\)
\(\ge2\sqrt{\frac{x^2+1}{x^2+1}}=2\)
(Dấu "="\(\Leftrightarrow x=0\))
Vậy \(P_{min}=2\Leftrightarrow x=0\)
Xem thêm câu trả lời
Cho x, y là các số thực thỏa mãn: \(\sqrt{x-1}-y\sqrt{y}=\sqrt{y-1}-x\sqrt{x}\) . Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: \(S=x^2+3xy-2y^2-4y+5\)
Các cậu giúp hộ tớ ạ~
Cho các số thực dương x, y, z thỏa mãn: \(\sqrt{x^2+y^2}+\sqrt{y^2+z^2}+\sqrt{z^2+x^2}=2018\)
Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:\(T=\frac{x^2}{y+z}+\frac{y^2}{z+x}+\frac{z^2}{x+y}\)
Cho các số thực dương x, y ,z thỏa mãn: \(\sqrt{x^2+y^2}+\sqrt{y^2+z^2}+\sqrt{z^2+x^2}=2018\)
Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: \(T=\frac{x^2}{y+z}+\frac{y^2}{z+x}+\frac{z^2}{x+y}\)
Tham khảo tại đây: Câu hỏi của dbrby - Toán lớp 10 | Học trực tuyến
Đúng 0
Bình luận (0)
14 tháng 2 2020 lúc 17:24
Cho x,y là 2 số thực dương . Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức :
\(P=\frac{x+y}{\sqrt{3x\left(2x+y\right)}+\sqrt{3y\left(2y+x\right)}}\) .
Áp dụng bđt AM-GM ta có
\(\sqrt{3x\left(2x+y\right)}+\sqrt{3y\left(2y+x\right)}\le\frac{3x+2x+y}{2}+\frac{3y+2y+x}{2}=\frac{6\left(x+y\right)}{2}=3\left(x+y\right)\)
\(\Rightarrow P\ge\frac{x+y}{3\left(x+y\right)}=\frac{1}{3}\)
Dấu "=" xảy ra khi x=y
a) Cho 3 số không âm x, y, z thỏa mãn: x^2+y^2+z^21.Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: Mx+y+z-3b)Cho 2 số dương x, y thỏa mãn: (sqrt{x}+1)(sqrt{y}+1)ge4.Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: Pfrac{x^2}{y}+frac{y^2}{x}
Đọc tiếp
\(a)\) Cho 3 số không âm x, y, z thỏa mãn: \(x^2+y^2+z^2=1\).
Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: \(M=x+y+z-3\)
\(b)\)Cho 2 số dương x, y thỏa mãn: \((\sqrt{x}+1)(\sqrt{y}+1)\ge4\).
Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: \(P=\frac{x^2}{y}+\frac{y^2}{x}\)
a) Từ đề bài có: \(x\left(x-1\right)\le0\Rightarrow x^2\le x\)
Tương tự hai BĐT còn lại và cộng theo vế suy ra:
\(M=x+y+z-3\ge x^2+y^2+z^2-3=-2\)
Đẳng thức xảy ra khi (x;y;z) = (0;0;1) và các hoán vị của nó
Is it true?
Đúng 0
Bình luận (0)
\(4\le\sqrt{x}+\sqrt{y}+\sqrt{xy}+1\le\sqrt{2\left(x+y\right)}+\frac{x+y}{2}+1\)
\(\Leftrightarrow\)\(8\le x+y+2\sqrt{x+y}\sqrt{2}+2=\left(\sqrt{x+y}+\sqrt{2}\right)^2\)
\(\Leftrightarrow\)\(\sqrt{x+y}+\sqrt{2}\ge\sqrt{8}\)
\(\Leftrightarrow\)\(x+y\ge\left(\sqrt{8}-\sqrt{2}\right)^2=2\)
\(\Rightarrow\)\(P=\frac{x^2}{y}+\frac{y^2}{x}\ge\frac{\left(x+y\right)^2}{x+y}=x+y\ge2\)
Dấu "=" xảy ra khi \(x=y=1\)
Đúng 0
Bình luận (0)
tìm giá trị nhỏ nhất của các biểu thức
D=\(\frac{2011x-2\sqrt{x}+1}{\sqrt{x}}\)
\(ĐKXĐ:x\ge0\)
Ta có : \(D=\frac{2011x-2\sqrt{x}+1}{\sqrt{x}}=2011\sqrt{x}+\frac{1}{\sqrt{x}}-2\)
Theo BĐT AM - GM ta có :
\(2011\sqrt{x}+\frac{1}{\sqrt{x}}\ge2\sqrt{2011\sqrt{x}\cdot\frac{1}{\sqrt{x}}}=2\sqrt{2011}\)
\(\Rightarrow2011\sqrt{x}+\frac{1}{\sqrt{x}}-2\ge2\left(\sqrt{2011}-1\right)\)
Dấu "=" xảy ra \(\Leftrightarrow x=\frac{1}{2011}\)
Vậy \(D_{min}=2\left(\sqrt{2011}-1\right)\) tại \(x=\frac{1}{2011}\)
cho x, y, z là các sốdương thỏa mãn điều kiện \(x+y+z\ge12\)
tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức \(P=\frac{x}{\sqrt{y}}.\frac{y}{\sqrt{z}}.\frac{x}{\sqrt{z}}\)
Đề gốc là \(P=\frac{x}{\sqrt{y}}+\frac{y}{\sqrt{z}}+\frac{z}{\sqrt{x}}\)
\(\frac{P}{4}=\frac{x}{2.2\sqrt{y}}+\frac{y}{2.2\sqrt{z}}+\frac{z}{2.2\sqrt{x}}\)
Áp dụng BĐT Côsi:
\(2.2.\sqrt{x}\le x+2^2=x+4\)
\(\Rightarrow\frac{P}{4}\ge\frac{x}{y+4}+\frac{y}{z+4}+\frac{z}{x+4}=\frac{x^2}{xy+4x}+\frac{y^2}{yz+4y}+\frac{z^2}{zx+4z}\)
\(\ge\frac{\left(x+y+z\right)^2}{xy+yz+zx+4\left(x+y+z\right)}\ge\frac{\left(x+y+z\right)^2}{\frac{1}{3}\left(x+y+z\right)^2+4\left(x+y+z\right)}=\frac{3\left(x+y+z\right)}{\left(x+y+z\right)+12}\)
\(=3-\frac{36}{x+y+z+12}\ge3-\frac{36}{12+12}=\frac{3}{2}\)
\(\Rightarrow P\ge6\)
Dấu bằng xảy ra khi \(x=y=z=4\)
Đúng 0
Bình luận (0)
Cho hai số x>0,y>0 và \(\sqrt{x}\) + \(\sqrt{y}\)= 1
Tìm giá trị nhỏ nhất và giá trị lớn nhất của biểu thức E= x\(\sqrt{x}\)+ y\(\sqrt{y}\)